Aristóteles, Precursor de la lógica.
"La enseñanza de la demostración
Durante el primer año de estudios en las carreras de matemática y carreras afines con la matemática usualmente se estudia la enseñanza de la demostración, en donde se quiere ver la matemática, en su esencia y estructura, como una disciplina que se encarga de formular, estructurar y sintetizar modelos generales, con los cuales se pueden simular y representar diversos problemas para solucionarlos.
Las demostraciones, consideradas problemas de conclusión conocida, engendran en el estudiante una nueva concepción de matemática muy distinta a la presente en secundaria. En esta nueva concepción se introducen conceptos desconocidos en su mayoría: axiomas, teoremas, definiciones,...; además se introduce la práctica de habilidades: conjeturar, realizar un contraejemplo, inducir, deducir, justificar y generalizar.
El éxito que tenga el estudiante en su carrera es, sin dudas, proporcional al apredizaje y desarrollo de estas habilidades. Por lo tanto, sería importante educar a los estudiantes en la forma de articular sus pensamientos para resolver un problema de conclusión conocida, y una forma de lograrlo es mediante una comprensión adecuada de los métodos de demostración. En este documento interesan los métodos de demostración de implicaciones.
Generalmente, la enseñanza de la demostración de una implicación se desarrolla de dos maneras:
1. Desde la lógica matemática. En este enfoque se abordan las conectivas lógicas, las tablas de verdad, las leyes de la lógica, las inferencias lógicas y posteriormente la demostración de proposiciones de la forma "H => C". Usualmente los métodos de demostración de implicaciones se estudian por medio de la enseñanza de Teoría de Conjuntos o se recurre a la Teoría de Números, en proposiones como:
1. Si "A es subconjunto de B" entonces "A interceptado con B" = A
2. Desde la lógica intuitiva. Se recurre a una interpretación intuitiva del implica, en donde se le enseña al estudiante que para demostrar teoremas de la forma
"H => C" se asume la hipótesis y se utiliza junto con axiomas, definiciones y teoremas demostrados para deducir la conclusión "C". Aquí es común introducir la demostración junto con la estructura de campo totalmente ordenado de "R" ó con la Teoría de Conjuntos.
En ambas orientaciones, la enseñanza de los métodos de demostración de implicaciones es ligada con la enseñanza de una teoría de la matemática, esto genera ciertas dificultades, veamos:
1. La teoría suele tener muchas definiciones o axiomas, por lo que se enseña la demostración dentro de una estructura muy amplia. Así, al tener tantos elementos, la enseñanza de la demostración se puede complicar para el estudiante.
2. Se abordan dos objetos de enseñanza simultáneamente: la demostración y la teoría. El estudiante no puede concentrarse únicamente en desarrollar la habilidad de demostrar, debe aprender axiomas, definiciones y teoremas.
3. La demostración dependiente de una teoría. El estudiante tiene que desligar los métodos de demostración de la teoría y transponerlos a otra.
Antes de continuar, debe quedar claro que no se pretende criticar estas dificultades, recuerde que el proceso de enseñanza aprendizaje implica que el estudiante supere algunas dificultades.
Así, se propone simplemente un cambio de enfoque, enseñar los métodos de demostración de implicaciones por medio de pequeñas estructuras axiomáticas, evitando dichas dificultades.
Seguidamente se presentan los métodos de demostración y ejemplos acordes con lo propuesto. Dicha presentación se realizará desde la lógica matemática, por ello se utilizarán definiciones de la lógica (contingencia, falacia, Modus Ponens,...) que en caso de duda el lector los puede encontrar en la mayoría de libros sobre este tema. Dicha presentación es fácilmente adaptable a la segunda orientación: la lógica intuitiva.
¿Cómo demostrar que es verdadero?
Observe la tabla de verdad del implica:
Si se quiere que "H => C" sea verdadero, basta probar que el caso (*) no se cumple. Es decir, es suficiente demostrar si es verdadero entonces se puede deducir que "C" es verdadero y por lo tanto no se puede dar el caso en que "H => C" sea falso. De lo anterior, parece razonable denominar a hipótesis (proposición cuyo valor de verdad se asume) y a "C" conclusión (proposición cuyo valor de verdad se desea averiguar. Si por el contrario a partir de y de otras proposiciones verdaderas de la teoría se deduce "¬C" entonces "H => C" es una contingencia y no una falacia.
En uno proceso de demostración de "H => C" se utiliza además de "H" otras hipótesis que no son mencionadas, estas pueden ser axiomas o teoremas.
De esta manera, se concluye que para demostrar una implicación, debe asumirse la veracidad de la hipótesis y se deduce que la conclusión es verdadera. Esta conclusión se debe evidenciar en la demostración de implicaciones:
La manera en que se realice la deducción de C a partir de H obedece a un método de demostración, por el cuál entenderemos un modelo a seguir para resolver el problema de la demostración. Desde este enfoque no se considera a la contrapositiva como un método de demostración de implicaciones, sino como una herramienta que me permite transformar el problema. El uso de la contrapositiva en la demostración sigue el siguiente modelo:
Como se observa la contrapositiva transforma la implicación en otra implicación, donde la deducción de la conclusión a partir de la hipótesis se debe de realizar utilizando alguno de los métodos de demostración."
Tomado de la Revista Digital Matemática.
Para descargar este artículo completo en formato pdf:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/propuestas-didacticas-em/v7n1-jun2006/index.html
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